Introduzione
A volte, quando si frequentano gli istituti superiori, i professori chiedono di calcolare il volume e la densità di un solido di forma regolare oppure irregolare.
All'inizio il problema sembra di difficile soluzione, ma non bisogna demoralizzarsi. Basta memorizzare le formule dei solidi più comuni per riuscire a risolvere il quesito.
Leggendo questo tutorial si possono avere alcuni utili consigli e delle corrette informazioni su come è possibile calcolare volume e densità.
Volume e densità: definizioni
Prima di elencare le varie casistiche è opportuno soffermarsi un momento sulle definizioni di volume e densità. Ciò dà la possibilità di riuscire a comprendere quello che viene richiesto.
Il volume, generalmente indicato dalla lettera V, può essere considerato lo spazio che viene occupato da uno specifico solido tridimensionale. Nel Sistema Internazionale esso viene espresso con un'unità di misura cubica, ad esempio il metro cubo (m³) ed i suoi sottomultipli. Qualche volta l'unità di misura viene espressa in litri.
Per calcolare il volume si devono prendere in considerazione elementi variabili quali: lunghezza, larghezza, raggio ed altezza di un determinato solido geometrico.
La densità, invece viene indicata con la lettera d, dato che essa è una grandezza di tipo derivato. Infatti, la densità è il rapporto tra la massa totale di un solido e il suo volume e viene espressa in kg/m³ oppure g/cm³. Per la misurazione della massa specifica (o densità) la forma del solido è ininfluente.
Come calcolare il volume e la densità
Quando si deve calcolare il volume oppure la densità di un solido regolare bisogna leggere i dati del problema con attenzione. In questo modo si riesce a comprendere la forma del solido.
È opportuno l'utilizzo di un foglio a quadretti per riportare in scala la lunghezza, la larghezza, l'altezza oppure il raggio e realizzare uno schizzo della figura geometrica.
Se il solido corrisponde ad un cubo si può elevare alla terza la dimensione di uno dei suoi lati per ottenere il volume finale.
Se il solido è regolare, ha sei facce e la lunghezza, la larghezza e l'altezza non sono uguali fra loro bisogna tracciare un parallelepipedo rettangolo (o prisma rettangolare). In questo caso il volume si deve calcolare moltiplicando fra di loro le tre dimensioni note.
Mentre, se si deve calcolare il volume di una piramide bisogna conoscere l'area di base. Successivamente bisogna moltiplicare il valore associato all'area di base "Ab" per l'altezza "h" del solido e dividere il risultato ottenuto per tre.
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La densità
Se riempite completamente due recipienti identici, uno di acqua e uno di benzina e li mettete su una bilancia, troverete che la bilancia indica due misure differenti. E se ne riempite un terzo, identico, con dell'olio troverete un terzo valore. Volumi uguali di sostanze diverse contengono masse diverse. Come mai?
Proviamo a spiegarlo, prima in modo intuitivo, e andando poi più in profondità.
Immaginate di avere un rotolo di alluminio per alimenti e di tagliarne due pezzi della stessa grandezza. Adesso immaginate di appallottolarli: uno più che potete e l’altro lasciando degli spazi vuoti tra le varie parti del foglio. Le due palline che ottenete contengono la stessa quantità di alluminio ma occupano porzioni di spazio differenti, ossia abbiamo la stessa massa ma concentrata in diversi volumi. Allo stesso modo, la materia contenuta in un corpo può essere più o meno “compatta”: ogni materiale ha una concentrazione di materia che lo caratterizza.
La grandezza fisica che descrive questa proprietà si chiama densità.
Definizione: Si definisce densità il rapporto tra la massa di un corpo e il volume che occupa. In una formula, $$ d = \frac{m}{V}$$ dove $d$ è la densità, $m$ è la massa (espressa in $Kg$), e $V$ è il volume (espresso in $m^3$): l’unità di misura della densità nel sistema internazionale è quindi il $Kg\ / \ m^3 = Kg \cdot m^{-3}$; nel sistema CGS invece è il $ g\ / \ cm^3 = g \cdot cm^{-3}$. Per passare dall’una all’altra misura, bisogna tenere presente la seguente formula di conversione: $$\frac{1\ Kg}{1\ m^3} = \frac{1000\ g}{\left( 100\ cm\right)^3} = \frac{10^3 \ g}{10^6 \ cm^3} = 10^{-3} g\ / \ cm^3$$
Per passare da $Kg\ / \ m^3$ a $g\ / \ cm^3$ basta dividere per 1000, mentre al contrario per passare da $Kg\ / \ m^3$ a $g\ / \ cm^3$ occorre moltiplicare per 1000.
Ogni sostanza ha un suo valore di densità, specifico per quella sostanza. Ciò vuol dire che, per esempio, un anello e un vassoio di argento occupano volumi diversi, hanno valori diversi di massa, ma il rapporto tra massa e volume è lo stesso per i due oggetti: il valore della densità dell’argento.
Nella tabella seguente trovate i valori di densità di alcune sostanze:
Sughero | 250 kg/m3 | 0,25 g/cm3 |
Legno di abete | 500 kg/m3 | 0,5 g/cm3 |
Olio di oliva | 920 kg/m3 | 0,92 g/cm3 |
Acqua a 4°C | 1000 kg/m3 | 1 g/cm3 |
Marmo | 2600 kg/m3 | 2,6 g/cm3 |
Rame | 8900 kg/m3 | 8,9 g/cm3 |
Ferro | 7800 kg/m3 | 7,8 g/cm3 |
Piombo | 11400 kg/m3 | 11,4 g/cm3 |
Oro | 19300 kg/m3 | 19,30 g/cm3 |
A parità di massa, la sostanza con il valore più elevato di densità occupa un volume minore. Per esempio, $500 \ Kg$ di legno di abete occupano uno spazio di $1 \ m^3$, mentre $500 \ Kg$ di piombo solo $0,04 \ m^3$, uno spazio 25 volte più piccolo!
L’acqua, distillata e alla temperatura di $4^\circ \ C$, ha una densità di $1000 Kg \ / \ m^3$. Ciò vuol dire che un metro cubo di acqua pesa una tonnellata o, equivalentemente, che $1 Kg$ di acqua occupa uno spazio di $1\ dm^3$. Per questo motivo si può usare l’acqua come riferimento e indicare la densità di un'altra sostanza contando quante volte il suo valore rientra in quello - unitario - posseduto dall’acqua. In questo caso di parla di densità relativa (adimensionale).
Se un corpo è costituito da sostanze diverse o non è omogeneo (al suo interno la materia non è distribuita in modo uniforme) si parla di densità media. Per esempio, la densità media del corpo umano è $985 Kg\ /\ m^3$.
Densità o peso specifico?
Nel linguaggio comune peso specifico e densità sono usati come sinonimi. Si tratta di una consuetudine diffusa. Anche in molti libri si definisce il peso specifico come rapporto tra peso (espresso in $Kg$) e volume (in $m^3$). Bisogna però fare attenzione perché è la massa la grandezza che si misura in $Kg$!
Massa e peso sono grandezze diverse con unità di misura diverse:
- La massa $m$ è una grandezza scalare, caratteristica di ogni corpo, è legata al principio di inerzia, e indica grosso modo la quantità di materia che il corpo stesso contiene. La massa rimane costante se si sposta il corpo in punti diversi dell’universo. Si misura in $Kg$.
- Il peso $P$ è una grandezza vettoriale, ed è la forza con cui ogni corpo è attratto verso il centro della Terra (o del pianeta su cui è) e dipende dal luogo in cui il corpo si trova. L’intensità di questa forza, sulla superficie Terrestre, è $P=m \cdot g$ dove $g$ è il modulo dell’accelerazione di gravità (che non è sempre lo stesso!). Si misura, come tutte le forze, in Newton (N).